Cours de psychologie · L1 · 6 min de lecture
Niveau conseillé : L1. La répartition des notions varie selon les universités ; utilise cette page en complément de ton CM et de tes TD.
Une moyenne ne raconte pas toute l’histoire d’un groupe. Deux promotions peuvent obtenir la même note moyenne et présenter des résultats très différents. Les statistiques descriptives servent à organiser les observations, à résumer leur centre et à décrire leur dispersion avant de chercher à généraliser.
Objectifs : choisir un résumé adapté au type de variable, calculer moyenne et variance, puis interpréter un écart-type. Les données ci-dessous sont inventées pour l’apprentissage ; elles ne décrivent aucune promotion réelle.
Dans ce cours
- 1. Commencer par identifier la variable
- 2. Moyenne, médiane et mode répondent à des questions différentes
- 3. La dispersion complète le centre
- 4. Un calcul de variance, étape par étape
- 5. Interpréter sans raconter trop d’histoires
- 6. Choisir un graphique et repérer les pièges
- 7. Exercice corrigé
- Sources et lectures
1. Commencer par identifier la variable
Une variable qualitative nominale distingue des catégories sans ordre naturel, comme le type de transport utilisé pour venir à la faculté. Une variable ordinale possède un ordre, mais les écarts entre catégories ne sont pas nécessairement équivalents. Un niveau de satisfaction allant de « très insatisfait » à « très satisfait » en fournit un exemple.
Une variable quantitative exprime une quantité. Elle peut être discrète, comme un nombre d’erreurs, ou continue, comme une durée. L’instrument peut arrondir une durée à la seconde sans transformer le phénomène en simple catégorie.
Attribuer les codes 1, 2 et 3 à des moyens de transport ne permet pas de calculer une moyenne ayant un sens. Les nombres sont alors des étiquettes. Pour un item ordinal, le choix de calculer une moyenne doit être justifié ; les scores construits à partir de plusieurs items posent encore d’autres questions de mesure.
| Question | Résumé souvent pertinent |
|---|---|
| Quelle catégorie revient le plus ? | Effectifs, pourcentages et mode |
| Quelle valeur partage les observations ordonnées ? | Médiane |
| Quel est le centre arithmétique des valeurs ? | Moyenne |
| Les valeurs sont-elles resserrées ou dispersées ? | Étendue, intervalle interquartile, variance ou écart-type |
2. Moyenne, médiane et mode répondent à des questions différentes
Prenons cinq notes : 8, 10, 10, 12 et 20. La moyenne vaut (8 + 10 + 10 + 12 + 20) / 5 = 12. La médiane est la troisième observation après classement, soit 10. Le mode, valeur la plus fréquente, est également 10.
Le 20 tire la moyenne vers le haut, tandis que la médiane reste centrée sur l’ordre des observations. Cette différence n’indique pas qu’un des résumés est « faux ». Ils décrivent deux aspects du même ensemble. Dans une distribution asymétrique ou avec des valeurs extrêmes, présenter la médiane et les quartiles peut être particulièrement utile.
Pour un effectif pair, la médiane usuelle d’une série quantitative est la moyenne des deux valeurs centrales. Pour des catégories ordinales, on raisonne sur les catégories centrales plutôt que d’inventer automatiquement une catégorie intermédiaire.
Le mode peut être multiple, ou peu informatif si toutes les valeurs sont différentes. Avant de choisir un indicateur, regarde donc la distribution et le sens de la mesure.
3. La dispersion complète le centre
Les séries 10, 10, 10, 10, 10 et 0, 5, 10, 15, 20 ont la même moyenne : 10. Pourtant, leur dispersion est très différente. L’étendue correspond au maximum moins le minimum : 0 pour la première, 20 pour la seconde. Elle est facile à calculer, mais ne dépend que de deux observations.
L’intervalle interquartile décrit l’écart entre le premier et le troisième quartile. Il résume la dispersion de la partie centrale de la distribution et résiste mieux aux valeurs extrêmes que l’étendue. Les conventions de calcul des quartiles peuvent varier selon les logiciels et les enseignements ; il faut appliquer celle demandée dans le TD.
La variance repose sur les écarts à la moyenne mis au carré. Sans ces carrés, les écarts positifs et négatifs s’annuleraient. L’écart-type est la racine carrée de la variance, ce qui permet de revenir à l’unité initiale.
4. Un calcul de variance, étape par étape
Reprenons les notes 8, 10, 10, 12 et 20, de moyenne 12.
| Note | Écart à 12 | Écart au carré |
|---|---|---|
| 8 | −4 | 16 |
| 10 | −2 | 4 |
| 10 | −2 | 4 |
| 12 | 0 | 0 |
| 20 | 8 | 64 |
La somme des carrés vaut 88. Si l’on décrit cette série comme une population finie complète, on divise par n = 5 : la variance descriptive vaut 17,6, et l’écart-type environ 4,20 points.
Si ces observations forment un échantillon utilisé pour estimer la variance d’une population, l’estimateur corrigé usuel divise par n − 1 = 4 : s² = 22, d’où s ≈ 4,69 points. Le choix du dénominateur dépend de l’objectif. Il ne faut pas mélanger la formule descriptive et la formule d’estimation au milieu d’un même calcul.
La correction n − 1 compense un biais de l’estimation de variance dans les conditions usuelles d’échantillonnage. Elle ne rend pas un échantillon représentatif et ne corrige pas des données mal recueillies. Un grand soin de calcul ne remplace pas un bon protocole.
5. Interpréter sans raconter trop d’histoires
Un écart-type de 4,69 points indique une dispersion des notes sur l’échelle considérée. Il ne signifie pas que chaque étudiant se situe exactement à 4,69 points de la moyenne, ni que tous les scores sont compris entre la moyenne moins et plus cet écart-type.
Les repères du type « environ 68 % des observations dans un écart-type autour de la moyenne » supposent une distribution proche d’une loi normale. Ils ne sont pas une propriété universelle de n’importe quelle série.
Il faut également distinguer écart-type et erreur standard. Le premier décrit la variabilité des observations ; la seconde renseigne sur la variabilité d’un estimateur entre échantillons. Dans le cas usuel d’une moyenne d’observations indépendantes, son estimation est s / √n. Un grand effectif peut rendre la moyenne précise alors que les individus restent très différents.
6. Choisir un graphique et repérer les pièges
Un diagramme en barres convient aux catégories. Un histogramme représente une distribution quantitative regroupée en intervalles. Un nuage de points permet d’examiner deux variables quantitatives. Une boîte à moustaches résume notamment médiane et quartiles, mais les conventions des moustaches doivent être connues.
Avant d’interpréter, vérifie les unités, les valeurs manquantes et les erreurs de saisie. Une note de 120 sur 20 mérite une vérification ; elle ne doit pas être supprimée silencieusement. Une valeur inhabituelle peut être une erreur, mais aussi une observation valide. Toute exclusion doit avoir une justification explicite.
Les pourcentages exigent également un dénominateur clair. « 60 % de réussite » n’a pas le même sens si l’on compte tous les inscrits, uniquement les présents ou seulement les répondants à une enquête.
7. Exercice corrigé
Série A : 6, 8, 10, 12, 14. Série B : 10, 10, 10, 10, 10.
- Calcule la moyenne de chaque série.
- Calcule la variance descriptive avec le dénominateur n.
- Rédige une interprétation en deux phrases.
Correction. Les deux moyennes valent 10. Pour A, les carrés des écarts sont 16, 4, 0, 4 et 16 ; leur somme est 40. La variance vaut 40 / 5 = 8 et l’écart-type √8 ≈ 2,83. Pour B, variance et écart-type valent 0. Les centres sont identiques, mais A est dispersée alors que toutes les observations de B coïncident. Aucune conclusion sur une différence entre populations ne découle automatiquement de cette description.
Sources et lectures
- Penn State, STAT 200, « Describing Data, Part 1 » : types de variables et résumés descriptifs.
- Penn State, STAT 800, « Explaining Variability » : comprendre la dispersion et les unités de la variance.
- Penn State, STAT 505, « Measures of Central Tendency, Dispersion and Association » : approfondissement des indicateurs numériques.
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